Bonjour tout le monde,
Oui, comme dit @Black-Jack, commencer par trouver fff est le mieux.
f=15\boxed{f=\dfrac{1}{5}}f=51 vu que x5=(15x)(5x4)x^5=(\dfrac{1}{5}x)(5x^4)x5=(51x)(5x4)
L'identification de P(x)P(x)P(x) avec (15x+g)P′(x)(\dfrac{1}{5}x+g)P'(x)(51x+g)P′(x) permet d'obtenir un système de 5 équations à 6 inconnues a,b,c,d,e,ga,b,c,d,e,ga,b,c,d,e,g.
on peut trouver a,b,c,d,ea,b,c,d,ea,b,c,d,e en fonction de ggg qui sert de paramètre réel.
Sauf erreur, après calculs :
a=25g\boxed{a=25g}a=25g
b=250g2\boxed{b=250g^2}b=250g2
c=1250g3\boxed{c=1250g^3}c=1250g3
d=3125g4\boxed{d=3125g^4}d=3125g4
e=3125g5\boxed{e=3125g^5}e=3125g5
Quelques illustrations :
Pour g=0g=0g=0 (cas trivial)
a=b=c=d=e=0a=b=c=d=e=0a=b=c=d=e=0
P(x)=x5P(x)=x^5P(x)=x5
P′(x)=5x4P'(x)=5x^4P′(x)=5x4 et l'on a P(x)=15xP′(x)P(x)=\dfrac{1}{5}x P'(x)P(x)=51xP′(x)
Pour g=1g=1g=1
P(x)=x5+25x4+250x3+1250x2+3125x+3125P(x)=x^5+25x^4+250x^3+1250x^2+3125x+3125P(x)=x5+25x4+250x3+1250x2+3125x+3125
P′(x)=5x4+100x3+750x2+2500x+3125P'(x)=5x^4+100x^3+750x^2+2500x+3125P′(x)=5x4+100x3+750x2+2500x+3125
et l'on a
P(x)=(15x+1)P′(x)P(x)=(\dfrac{1}{5}x+1)P'(x)P(x)=(51x+1)P′(x)
Bons calculs @lala-o .