Nombre complexe application


  • M

    Bonsoir
    On identifie P plan complexe
    m(x;y)m(x;y)m(x;y) dans RRR , on associe son affixe z=x+iyz=x+iyz=x+iy
    a) Déterminer x et y fonction de z et son conjugué zbarzbarzbar
    b) soit f:Cf:\mathbb{C}f:C—>C\mathbb{C}C
    Qui z fait correspondre affixe du point M=T(m) dans le repère R
    Montrer que Z= iz + (1+i)zbar


  • mtschoon

    @Zeïnab-Mahamadou , bonjour,

    Pour la question a)
    z=x+iyz=x+iyz=x+iy
    zˉ=x−iy\bar z=x-iyzˉ=xiy

    En ajoutant membre à membre et en simplifiant , tu obtiens x=z+zˉ2x=\dfrac{z+\bar z}{2}x=2z+zˉ

    En retranchant membre à membre et en simplifiant , tu obtiens y=z−zˉ2iy=\dfrac{z-\bar z}{2i}y=2izzˉ

    Pour la b) , je ne vois pas qui est T(m), plus précisement , qu'est ce que T ?

    Merci de préciser.


  • M

    @mtschoon bonsoir
    Plus haut dans l’exercice l’énoncé parle de l’application T la translation de vecteur u mais dans la question ils n’ont pas précisé .
    Si T est cette translation ça a un sens ??


  • M

    @mtschoon merci pour première question
    Au faite c’est la deuxième partie de l’exercice (il est très long l’exercice).Et Je pense que les deux partie ne sont pas indépendantes .
    Je vais essayer de traiter l’exercice dès le début


  • mtschoon

    @Zeïnab-Mahamadou , bonsoir,

    La forme complexe d'une translation de vecteur U→\overrightarrow UU de coordonnées (a,b)(a,b)(a,b) est : z′=z+(a+ib)z'=z+(a+ib)z=z+(a+ib).

    Il faut écrire l'énoncé tel qui t'a été donné, si tu as besoin d'aide.


  • mtschoon

    @Zeïnab-Mahamadou , bonjour,

    Comme indiqué, T ne peut pas être une translation, vu que la forme que tu donnes z′=iz+(1+i)zˉz'=iz+(1+i)\bar zz=iz+(1+i)zˉ ne correspond pas à la forme complexe d'une translation.

    T veut peut-être dire Transformation.

    Je peux te dire, si cela t'est utile, que z′=iz+(1+i)zˉz'=iz+(1+i)\bar zz=iz+(1+i)zˉ est la forme complexe de la symétrie axiale, d'axe (d) d'équation y=xy=xy=x et de direction l'axes des ordonnées (axe des imaginaires).

    Preuve :
    Si l'on fait les calculs :
    soit z=x+iyz=x+iyz=x+iy et z′=x′+iy′z'=x'+iy' z=x+iy(je mets z′z'z au lieu de ZZZ pour éviter les confusion dans les notations)

    z′=iz+(1+i)zˉz'=iz+(1+i)\bar zz=iz+(1+i)zˉ <=> x′+iy′=i(x+iy)+(1+i)(x−iy)x'+iy'=i(x+iy)+(1+i)(x-iy)x+iy=i(x+iy)+(1+i)(xiy)
    c'est à dire, après calculs : x′=xx'=xx=x et y′=2x−yy'=2x-yy=2xy

    Recherche des points invariants : z′=zz'=zz=z tu dois trouver y=x\boxed{y=x}y=x (droite (d) ).

    Soit m(x,y)m(x,y)m(x,y) et M(x′,y′)M(x',y')M(x,y) et I(x,x)I(x,x)I(x,x) de la droite (d)

    Im→\overrightarrow{Im}Im a pour coordonnées (x−x,y−x)(x-x,y-x)(xx,yx) c'est à dire (0,y−x)(0,y-x)(0,yx)
    IM→\overrightarrow{IM}IM a pour coordonnées (x−x,y′−x)(x-x,y'-x)(xx,yx) c'est à dire (0,y′−x)(0,y'-x)(0,yx)
    Vu que y′=2x−yy'=2x-yy=2xy, tu obtiens :
    IM→\overrightarrow{IM}IM a pour coordonnées (0,x−y)(0,x-y)(0,xy)

    Donc : IM→=−Im→\boxed{\overrightarrow{IM}=-\overrightarrow{Im}}IM=Im

    Conclusions :
    (mM) parallèle à l'axe des ordonnées
    I milieu de [mM]

    Donc la nature de T que je t'ai proposée.

    Evidemment, suivant ton énoncé, il faut faire les calculs dans l'autre sens : partir de T que tu devrais connaître (? ? ? ) et trouver sa forme complexe.


  • mtschoon

    illustration graphique
    Symétrie.jpg


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