Coniques fonctionssqsss


  • M

    1. soit r la rotation de centre o et d’angle (-pi/4)
      (T): 3(x2+y2)−2xy−16=0x^2+y^2)-2xy-16=0x2+y2)2xy16=0
      On désigne par (T’) l’image de r par (T)
      a) déterminé une équation cartésienne de (T)
      b) construire (T) et (T’) dans le même repère

  • mtschoon

    @Zeïnab-Mahamadou , bonjour,

    Je pense qu'au a), tu cherches l'équation cartésienne de (T')

    Piste en passant par les complexes.
    z′=ze−iπ4z'=ze^{-i\dfrac{\pi}{4}}z=zei4π

    x′+iy′=(x+iy)(cosπ4+iπ4)x'+iy'=(x+iy)(cos\dfrac{\pi}{4}+i\dfrac{\pi}{4})x+iy=(x+iy)(cos4π+i4π)

    x′+iy′=(x+iy)(22−i22)x'+iy'=(x+iy)(\dfrac{\sqrt 2}{2}-i\dfrac{\sqrt 2}{2})x+iy=(x+iy)(22i22)

    En développant et en identifiant les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles, après calculs, tu dois trouver, sauf erreur, :
    x′=22(x+y)x'=\dfrac{\sqrt 2}{2}(x+y)x=22(x+y)
    y′=22(−x+y)y'=\dfrac{\sqrt 2}{2}(-x+y)y=22(x+y)

    En ajoutant et en retranchant membre à membre égalités, tu obtiens :
    x=22(x′+y′)x=\frac{\sqrt 2}{2}(x'+y')x=22(x+y)

    y=22(x′−y′)y=\frac{\sqrt 2}{2}(x'-y')y=22(xy)

    En subsituant dans l'équation de départ, tu obtiens après calculs :

    x′2+2y′2=8\boxed{x'^2+2y'^2=8}x2+2y2=8

    En diviasans par 888 ; tu peux écrire :

    x′28+y′24=1\dfrac{x'^2}{8}+\dfrac{y'^2}{4}=18x2+4y2=1
    c'est à dire :
    x′2(22)2+y′222=1\boxed{\dfrac{x'^2}{(2\sqrt 2)^2}+\dfrac{y'^2}{2^2}=1}(22)2x2+22y2=1

    Tu reconnaîs ainsi l'équation usuelle d'une ellipse (T') que tu peux construire.

    Ensuite, par rotation de centre OOO et d''angle +π4+\dfrac{\pi}{4}+4π, tu peux déduire la construction de l'ellipse (T).

    Bons calculs.


  • mtschoon

    Illustration graphique

    (T) est l'ellipse en rouge
    (T') est l'ellipse en vert
    conique.jpg


  • M

    @mtschoon merci, c’est exact


  • mtschoon

    De rien @Zeïnab-Mahamadou .
    Je me doutais bien que tu avais fait une faute de frappe à la question a).

    Cet exercice était intéressant.

    Bon travail !


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