Suite numérique pour nnn


  • M

    Bonsoir
    On considère la suite définie par Un=Un=Un=∑k=1n\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=1n 1n+k\dfrac{1}{n+k}n+k1 . Cette suite est-elle croissante? Est-elle
    convergente ?
    Comment montrer qu’elle est convergente ?


  • N
    Modérateurs

    @Zeïnab-Mahamadou Bonjour,

    Utilise le fait que chaque terme de la suite est inférieur ou égal au premier terme.


  • mtschoon

    Bonjour,

    @Zeïnab-Mahamadou , pour mieux comprendre, explicite UnU_nUn

    Un=1n+1+1n+2+1n+3+...+1n+nU_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+...+\dfrac{1}{n+n}Un=n+11+n+21+n+31+...+n+n1

    Pour prouver que la suite (Un)(U_n)(Un) est croissante, détermine le signe de Un+1−UnU_{n+1}-U_nUn+1Un

    Tu dois trouver Un+1−Un=1n+n+1=12n+1U_{n+1}-U_n=\dfrac{1}{n+n+1}=\dfrac{1}{2n+1}Un+1Un=n+n+11=2n+11

    Tu déduis que Un+1−Un>0U_{n+1}-U_n\gt 0Un+1Un>0 d'où la conclusion.

    Tu peux prouver que la suite (Un)(U_n)(Un) est majorée en utilisant la piste de @Noemi

    Un≤n(1n+1)U_n\le n\biggr(\dfrac{1}{n+1}\biggr)Unn(n+11)

    donc Un≤nn+1U_n\le \dfrac{n}{n+1}Unn+1n

    Or, nn+1<1\dfrac{n}{n+1}\lt 1n+1n<1 donc Un<1U_n\lt 1Un<1

    La suite (Un)(U_n)(Un) est majorée par 111

    La suite (Un)(U_n)(Un) est croissante et majorée.

    Tu peux tirer ainsi la conclusion sur sa convergence.


  • M

    @mtschoon merci beaucoup


  • M

    @Zeïnab-Mahamadou
    On considère la suite définie par u0 = 0 et un+1 = 3un − 2 pour n ≥ 0. Déterminer la nature de la suite définie par vn = un − 1, et en déduire l’étude de la convergence de la suite (un).
    Vn+1 = 3Vn donc Vn est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme -1
    limx→∞+Vn=−∞lim_{x\to\infty+}Vn=-\inftylimx+Vn=
    Comment déterminer la limite de Un) svp


  • mtschoon

    @Zeïnab-Mahamadou ,

    Vu qu'il s'agit d'un autre exercice, tu devrais ouvrir un autre topic.


  • M

    @mtschoon C’est dans un mm exercise


  • mtschoon

    @Zeïnab-Mahamadou , pour ton second exercice (qui est donc associé au premier, d'après ce que tu indiques)

    Oui, (Vn)(V_n)(Vn) est géométrique de raison 333 et de premier terme V0=−1V_0=-1V0=1
    donc : Vn=(−1)(3n)V_n=(-1)(3^n)Vn=(1)(3n)
    La limite de (Vn)(V_n)(Vn) est bien −∞-\infty

    Tu peux déduire directement la limite de (Un)(U_n)(Un) :
    Vn=Un−1V_n=U_n-1Vn=Un1 <=> Un=Vn+1U_n=V_n+1Un=Vn+1

    Vu que (Vn)(V_n)(Vn) tend vers −∞-\infty, (Un)(U_n)(Un) tend aussi vers −∞-\infty


  • M

    @mtschoon Mercii bien


  • mtschoon

    De rien et bon travail @Zeïnab-Mahamadou


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