Nombres complexes : résolution d'équations


  • M

    Bonsoir
    Résoudre dans C l’équation z−2z−1=i\dfrac{z-2}{z-1}=iz1z2=i


  • N
    Modérateurs

    @Zeïnab-Mahamadou Bonsoir,

    Indique tes calculs et/ou résultat si tu souhaites une vérification.


  • M

    @Noemi x+iy-2=ix-y-i


  • mtschoon

    Bonjour,

    @Zeïnab-Mahamadou ,tu peux continuer avec ton idée de départ si tu le souhaites

    Avant de commencer, indique la condition d'existence :

    z−1≠0z-1\ne 0z1=0 c'est à dire z≠1z\ne 1z=1
    Tu travailles donc sur CCC-{1}

    En posant z=x+iyz=x+iyz=x+iy (avec xxx et yyy réels), comme tu l'as fait, tu arrives à :
    x+iy−2=ix−y−ix+iy-2=ix-y-ix+iy2=ixyi

    Tu regroupes les parties réelles et les parties imaginaires
    (x−2)+iy=−y+i(x−1)(x-2)+iy=-y+i(x-1)(x2)+iy=y+i(x1)

    Par identification des parties réelles entre elles et des parties imaginaires entre elles , tu obtiens le système :
    {x−2=−yy=x−1\begin{cases} x-2=-y\cr y=x-1 \end{cases}{x2=yy=x1

    Tu résous.

    Au final, sauf erreur, tu dois trouver :

    z=32+12iz=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}iz=23+21i

    Bons calculs.


  • N
    Modérateurs

    @Zeïnab-Mahamadou

    Une alternative ;
    A partir de la condition d'existence de zzz, on peut résoudre l'équation en zzz,
    z−2=i(z−1)z-2=i(z-1)z2=i(z1)


  • M

    @mtschoon Mercii beaucoup j’ai compris


  • M

    @mtschoon et pour
    (z−2z−1)2=i(\dfrac{z-2}{z-1})^2=i(z1z2)2=i


  • N
    Modérateurs

    @Zeïnab-Mahamadou

    Tu peux appliquer la même méthode, tu trouves une équation du second degré en
    zzz à résoudre.


  • M

    @Noemi j’ai trouvé

    Ça
    x2−y2+1−2x=x2+y2−4x+3x^2-y^2+1-2x=x^2+y^2-4x+3x2y2+12x=x2+y24x+3
    2xy−2y=4y2xy-2y=4y2xy2y=4y


  • N
    Modérateurs

    @Zeïnab-Mahamadou

    Vérifie tes calculs, je ne trouve pas les mêmes résultats.
    Tu peux faire les calculs directement avec zzz.


  • mtschoon

    Bonsoir,

    @Zeïnab-Mahamadou , vu qu'il y a des carrés, résoudre l'équation du second degré en zzz semble le moins compliqué.

    Pour z≠1z\ne 1z=1, l'équation se ramène à :
    (z−2)2=i(z−1)2(z-2)^2=i(z-1)^2(z2)2=i(z1)2

    Après développements et transposition , tu dois obtenir, sauf erreur
    (1−i)z2+(2i−4)z+(4−i)=0(1-i)z^2+(2i-4)z+(4-i)=0(1i)z2+(2i4)z+(4i)=0
    Après calculs , le discriminant vaut :
    Δ=4i\Delta=4iΔ=4i

    Il faut que tu détermines les racines carrées complexes δ\deltaδ et −δ-\deltaδ de Δ\DeltaΔ

    Tu peux utiliser la méthode algébrique, c'est à dire chercher les réels aaa et bbb tels que
    (a+ib)2=4i(a+ib)^2=4i(a+ib)2=4i
    Tu peux aussi utiliser la voie rigonométrique/exponentielle, c'est à dire chercher rrr et θ\thetaθ tels que (reiθ)2=4i(re^{i\theta})^2=4i(reiθ)2=4i , c'est à dire (reiθ)2=4eiπ2(re^{i\theta})^2=4e^{i\dfrac{\pi}{2}}(reiθ)2=4ei2π
    Quelle que soit la méthode , après transformations, tu dois arriver à :
    δ=2+i2\delta=\sqrt 2+i\sqrt 2δ=2+i2 et −δ=−2−i2-\delta=-\sqrt 2-i\sqrt 2δ=2i2

    Avec les formules de résolution usuelles, tu pourras en déduire les solutions z1z_1z1 et z2z_2z2 de l'équation proposée.
    Evidemment, il faudra ensuite transformer ces solutions pour les mettre sous une forme convenable ( pas de iii au dénominateur)

    Bons calculs.


  • W

    @Zeïnab-Mahamadou quant tu auras résolu ton exercice par les méthodes proposées, tu peux aussi procéder ainsi:

    pose Z=z−2z−1Z=\dfrac{z-2}{z-1}Z=z1z2

    Z2=iZ^2=iZ2=i

    Z2=(1+i2)2Z^2=\left(\dfrac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^2Z2=(21+i)2

    d'où Z1etZ2Z_1 et Z_2Z1etZ2

    Z1=z1−2z1−1Z_1=\dfrac{z_1-2}{z_1-1}Z1=z11z12

    Z2=z2−2z2−1Z_2=\dfrac{z_2-2}{z_2-1}Z2=z21z22

    il te reste à trouver z1etz2z_1 et z_2z1etz2


  • mtschoon

    Bonjour,

    @Zeïnab-Mahamadou , j'indique les résultats à trouver, pour vérification :

    z1=32+(1+22)iz_1=\dfrac{3}{2}+\biggr(\dfrac{1+\sqrt 2}{2}\biggr)iz1=23+(21+2)i

    z2=32+(1−22)iz_2=\dfrac{3}{2}+\biggr(\dfrac{1-\sqrt 2}{2}\biggr)iz2=23+(212)i

    Bons calculs.


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