Application affine et transformation d’un plan


  • M

    Bonsoir

    Le plan est rapporté au repère orthonorné ( 0 ; vec i ; vec J )

    Partie A

    1. A tout point M du plan on associe le point M_{1} image de M par la symétrie orthogonale d'axe la droite d'équation y = x puis le point M' image de M_{1} par la symétrie orthogonale d'axe ( 0 ; vec i ).

    a) Calculer les coordonnées x' y' de M' en fanction des coordonnées x et y de M.

    b) Caractériser l'application qui transforme M en M'.


  • N
    Modérateurs

    @Zeïnab-Mahamadou Bonjour,

    Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.


  • mtschoon

    Bonjour,

    @Zeïnab-Mahamadou , piste pour démarrer,

    Schéma pour éclairer,
    Symétrie.jpg

    M(x,y)M(x,y)M(x,y)
    M1(y,x)M_1(y,x)M1(y,x)
    M′(y,−x)M'(y,-x)M(y,x)
    Peut-être que ton cours te donne la nature du composé de 2 symétries axiales d'axes concourants sinon tu la trouves en raisonnant.


  • M

    @Noemi bonsoir
    C’est que j’arrive pas à démarrer si j’envoie lexo seulement


  • M

    @mtschoon bonsoir
    Je sais que la composée de deux symétries est une rotation
    Laïus comme vous avez fait pour déterminer les coordonnées de M’ et M_1


  • B

    @Zeïnab-Mahamadou a dit dans Application affine et transformation d’un plan :

    @mtschoon bonsoir
    Je sais que la composée de deux symétries est une rotation
    Laïus comme vous avez fait pour déterminer les coordonnées de M’ et M_1

    Bonjour,

    Une rotation, OUI
    Mais il faudrait préciser le centre, le rayon et l'angle de cette rotation.

    Piste:
    Calculer |OM| et |OM'| ...
    Et calculer OM→.OM′→\overrightarrow{OM} . \overrightarrow{OM'}OM.OM


  • mtschoon

    Bonjour,

    @Zeïnab-Mahamadou , si ton cours le prévoit, tu dois savoir précisemment de quelle rotation il s'agit.

    Dans ce cas, tu l'appliques directement :
    "Si les droites D et D' sont sécantes en un point O , la composée de la symétrie orthogonale par rapport à (D) suivie de la symétrie orthogonale par rapport ) (D') est la rotation de centre O et d'angle 2 ( D , D' )"

    Sinon, tu fais les calculs ; Black-Jack t'a donné une piste éventuelle.

    Indique ta réponse sur cette rotation si tu souhaites une vérification.


  • mtschoon

    @Zeïnab-Mahamadou , tu indiques ne pas savoir déterminer les coordonnées de M1M_1M1 et M′M'M

    Je complète de schéma.
    symétrieBis.jpg

    Coordonnées de M(x,y)M(x,y)M(x,y) :
    OH‾=x\overline{OH}=xOH=x
    OK‾=y\overline{OK}=yOK=y

    Par symétrie par rapport à (D) d'équation y=x (bissectrice de l'angle des deux axes de coordonnées), absisse et ordonnée sont échangées:
    OK1‾=OH‾\overline{OK_1}=\overline{OH}OK1=OH
    OH′‾=OK‾\overline{OH'}=\overline{OK}OH=OK

    Coordonnées de M1(x1,y1)M_1(x_1,y_1)M1(x1,y1) :
    OH′‾=x1=y\overline{OH'}=x_1=yOH=x1=y
    OK1‾=y1=x\overline{OK_1}=y_1=xOK1=y1=x

    Par symétrie par rapport à (D')droite portée par l'axe des abscisses) , M1M_1M1 et M′M'M ont mêmes abscisses et des ordonnées opposées.

    Coordonnées de M′(x′,y′)M'(x',y')M(x,y) :
    OH′‾=x′=x1=y\overline{OH'}=x'=x_1=yOH=x=x1=y
    OK′‾=y′=−y1=−x\overline{OK'}=y'=-y_1=-xOK=y=y1=x

    Regarde tout ça de près.


  • M

    @mtschoon bonsoir
    J’avais procédé par l’expression analytique, et j’ai trouvé le même résultat merci


  • M

    @Black-Jack bonsoir
    (OM)→(x;y)\overrightarrow{(OM)}(x;y)(OM)(x;y) et (OM’)→(y;−x)\overrightarrow{(OM’)}(y;-x)(OM)(y;x)
    (OM)→.(OM’)→\overrightarrow{(OM)}.\overrightarrow{(OM’)}(OM).(OM) = 0→\overrightarrow{0}0 non ?
    Et l’angle n’as pas l’aire d’être nul


  • M

    @Zeïnab-Mahamadou bonsoir
    Voici le reste , aidez moi avec des pistes dans chaque question à partir de 2.
    c) Au point M * [[x], [y]] on associe le point N de coordonnées X et Y telles que x = y + 1; y = - x + 1 (1)(c’est un système)
    Montrer que cette transformation est une isométrie et la caractériser.

    1. Le point M décrivant la droite d'équation y = x déterminer l'ensemble décrit par N. quel est l'ensemble décrit par le milicu du segment [MN]?

    2. Au point M [[x], [y]] on associe le point N' de coordonnées (x’;Y’x’;Y’x;Y) tel que X' = 3y + 1; Y = - 2x + 1 (2)
      (Système aussi)
      a) Quelle est la nature de l'ensemble E des points N' lorsque le point M décrit le cercle de centre O et de rayon 1.

    b) Caractériser le transformé de E par la transformation (1).


  • mtschoon

    @Zeïnab-Mahamadou ,

    Attention pour la fin de la partie A)

    @Zeïnab-Mahamadou a dit dans Application affine et transformation d’un plan :

    (OM)→(x;y)\overrightarrow{(OM)}(x;y)(OM)(x;y) et (OM’)→(y;−x)\overrightarrow{(OM’)}(y;-x)(OM)(y;x)
    (OM)→.(OM’)→\overrightarrow{(OM)}.\overrightarrow{(OM’)}(OM).(OM) = 0→\overrightarrow{0}0 non ?
    Et l’angle n’as pas l’aire d’être nul

    @Zeïnab-Mahamadou , revois ton cours sur le produit scalaire.
    Le produit scalaire de 2 vecteurs est un nombre , non un vecteur !

    OM→.OM′→=xy−yx=0\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{OM'}=xy-yx=0OM.OM=xyyx=0
    Donc vecteurs orthogonaux , donc angle droit.

    Evidemment , le produit scalaire ne te dit pas si l'angle droit est "direct" ou "indirect"

    Pour avoir le sens de l'angle, analyse le graphique.


  • M

    @mtschoon bonsoir
    Merci j’ai compris , indiquer moi des pistes pour la prochaine question 2.


  • mtschoon

    @Zeïnab-Mahamadou , bonjour,

    Avant de regarder tes dernières demandes, merci d'indiquer avec précision la conclusion de la partie A.
    Quelle rotation as-tu trouvée ?


  • mtschoon

    Re-bonjour @Zeïnab-Mahamadou

    Pour la rotation, j'espère que tu as trouvé OOO pour centre et −π2 [2π]-\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]2π [2π] pour angle.

    Je te démarre la question 222 si besoin.
    Si j'ai bien compris (car ce que tu as écrit n'est pas clair...) , ce que tu cherches :

    M(x,y)M(x,y)M(x,y) avec y=xy=xy=x donc M(x,x)M(x,x)M(x,x).
    N(X,Y)N(X,Y)N(X,Y) avec X=y+1X=y+1X=y+1 et Y=−x+1Y=-x+1Y=x+1

    Si c'est bien ça :
    X=x+1X=x+1X=x+1 et Y=−x+1Y=-x+1Y=x+1

    Donc: x=X−1x=X-1x=X1 et x=−Y+1x=-Y+1x=Y+1

    D'où : X−1=−Y+1X-1=-Y+1X1=Y+1 c'est à dire : X+Y−2=0X+Y-2=0X+Y2=0
    L'ensemble décrit par NNN est donc la droite d'équation X+Y−2=0X+Y-2=0X+Y2=0

    Tu poursuis.

    Bon travail.


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