Pistes pour la partie B), (calculs à effectuer)
a) M(1,12,0)M(1,\dfrac{1}{2},0)M(1,21,0) ; N(13,1,0)N(\dfrac{1}{3},1,0)N(31,1,0) ; P(0,14,1)P(0,\dfrac{1}{4},1)P(0,41,1)
b) (AD)(AD)(AD) droite passant par AAA et de vecteur directeur AD→\overrightarrow{AD}AD.
AD→\overrightarrow{AD}AD a pour coordonnées (0,1,0)(0,1,0)(0,1,0)
Soit t1t_1t1 le paramètre
Représentation paramétrique de (AD(AD(AD) :
{x=0y=t1z=0\begin{cases}x=0\cr y=t_1\cr z=0\end{cases}⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x=0y=t1z=0
(MN)(MN)(MN) droite passant par MMM et de vecteur directeur MN→\overrightarrow{MN}MN.
MN→\overrightarrow{MN}MN a pour coordonnées (−23,12,0)(-\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{2},0)(−32,21,0)
Soit t2t_2t2 le paramètre
Représentation paramétrique de (MN(MN(MN) :
{x=1−23t2y=12+12t2z=0\begin{cases}x=1-\dfrac{2}{3}t_2\cr y=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}t_2\cr z=0\end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧x=1−32t2y=21+21t2z=0
En résolvant le système composé des représentations graphiques de (AD)(AD)(AD) et (MN)(MN)(MN) , on trouve
0=1−23t20=1-\dfrac{2}{3}t_20=1−32t2 <=> t2=32t_2=\dfrac{3}{2}t2=23
t=12+(12)(32)=54t=\dfrac{1}{2}+(\dfrac{1}{2})(\dfrac{3}{2})=\dfrac{5}{4}t=21+(21)(23)=45
D'où LLL a pour coordonnées (0,54,0)(0,\dfrac{5}{4},0)(0,45,0)
d) (PL)(PL)(PL) droite passant par PPP et de vecteur directeur PL→\overrightarrow{PL}PL.
AD→\overrightarrow{AD}AD a pour coordonnées (0,1,−1)(0,1,-1)(0,1,−1)
Soit t3t_3t3 le paramètre
Représentation paramétrique de (PL(PL(PL) :
{x=0y=14+t3z=1−t3\begin{cases}x=0\cr y=\dfrac{1}{4}+t_3\cr z=1-t_3\end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x=0y=41+t3z=1−t3
e) (DH)(DH)(DH) droite passant par DDD et pour vecteur directeur DH→\overrightarrow{DH}DH.
DH→\overrightarrow{DH}DH a pour coordonnées (0,0,1)(0,0,1)(0,0,1)
Soit t4t_4t4 le paramètre
Représentation paramétrique de (DH(DH(DH) :
{x=0y=1z=t4\begin{cases}x=0\cr y=1\cr z=t_4\end{cases}⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x=0y=1z=t4
En résolvant le système composé des représentations graphiques de (PL)(PL)(PL) et (DH)(DH)(DH) , on trouve , pour coordonnées de KKK : (0,1,14)(0,1,\dfrac{1}{4})(0,1,41)
f) (d) est la droite passant par PPP et de vecteur directeur MN→\overrightarrow{MN}MN.
Soit t4t_4t4 le paramètre
Représentation paramétrique de (d)(d) (d) :
{x=−23t4y=14+12t4z=1\begin{cases}x=-\dfrac{2}{3}t_4\cr y=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2} t_4 \cr z=1\end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧x=−32t4y=41+21t4z=1
g) les vecteurs ne sont pas colinéaires (à vérifier en calculant leurs coordonnées)
Cet exercice était un bon exercice de révision de géométrie dans l'espace.