Nombre complexe résolution

On pose P(z) = 𝑧^4 − 6𝑧^3 + 23𝑧^2 − 34𝑧 + 26

u désigne un nombre complexe.
a) Montrer que P(conjugué de u) = conjugué de p(u)
̅̅̅̅̅̅
b) En déduire que si P(u) = 0 alors P(conjugué de u) = 0.

@mdiariss , bonjour,
Formule de politesse à ne pas oublier une autre fois.

Piste,

a) Utilise les propriétés des conjugués que tu as vu en cours.

$P(u)‾=u4−6u3+23u2−34u+26‾\overline{P(u)}=\overline{u^4 − 6u^3 + 23u^2 − 34u + 26}$

$P(u)‾=u4‾−6u3‾+23u2‾−34u‾+\overline{P(u)}=\overline{u^4}− 6\overline{u^3} + 23\overline{u^2} − 34\overline{u}+$ 6$

$P(u)‾=u‾4−6u‾3+23u‾2−34u‾+6\overline{P(u)}=\overline{u}^4− 6\overline{u}^3 + 23\overline{u}^2 − 34\overline{u}+ 6$

Or
$u‾4−6u‾3+23u‾2−34u‾+6=P(u‾)\overline{u}^4− 6\overline{u}^3 + 23\overline{u}^2 − 34\overline{u}+ 6=P(\overline{u})$

Donc
$P(u‾)=P(u)‾\boxed{P(\overline{u})=\overline{P(u)}}$

Le b) est la conséquence immédiate du a)

Le conjugué de $0$ est $0$

Si $P (u) = 0$ alors $P(u)‾=0‾\overline{P(u)}=\overline{0}$ donc $P(u)‾=0\overline{P(u)}=0$

Le a) permet de conclure que $P(u‾)=0P(\overline{u})=0$

Bonjour,

@mtschoon: @mdiariss n'a pas eu sa réponse assez vite sur un autre forum, donc poste ici!!

@Wilmat, bonsoir,

Les demandeurs sont toujours pressés...

Je pense que ce que nous demande @mdiariss n'est pas la question complète car il s'agit visiblement de résoudre l'équation P(z)=0 dans $C$ , et la question posée ne représente que les prémices.

Bonjour,

Cet exercice est un classique.
On le trouve un peu partout sur le web, en 2004, 2008, 2014,...

Par exemple ici , il y a 3 ans :
https://math.stackexchange.com/questions/3796196/how-can-i-resolve-this-equation-z4-2z3-7z2-−-18z-26-0-where-there

L'énoncé doit demander de calculer $P (1 + i)$
On trouver $P (1 + i) = 0$
$1+i\boxed{1+i}$ est donc solution de l'équation $P (z) = 0$
La première question traitée permet de déduire que $1−i\boxed{1-i}$ est aussi solution de l'équation $P (z) = 0$

$P (z) = 0$ peut donc se transformer en : $z-(1+i))(z-(1-i))(az^2+bz+c)=0$

Par exemple par identification, on peut trouver les valeurs de $a, b, c$
Après calculs $a = 1, b = - 4, c = 13$

On résout l'équation du second degré $z^2-4z+13=0$
Après calculs; $Δ=−36=(6i)2\Delta=-36=(6i)^2$
Deux solutions $2+3i\boxed{2+3i}$ et $2−3i\boxed{2-3i}$

On a obtienu ainsi les 4 solutions de l'équation :
$z4−6z3+23z2−34z+36=0\boxed{z^4-6z^3+23z^2-34z+36=0}$

Bons calculs à tous ceux qui souhaitent les faire .