Géométrie : équation d'une ellipse

[-lala-o]

Bonjour,
Dans l'exercice ci-dessous, j'obtiens des calculs très compliqués et je n'arrive pas à trouver la solution finale.
Voici l'énoncé :
Donnez une équation cartésienne de l'ellipse E sachant qu'elle est centrée à l'origine, qu'elle a ses deux diamètres principaux parallèles aux axes du repère, qu'elle passe par le point $C=(\frac{-12}{5};\frac{6}{5})$ et qu'elle est tangente à la droite d'équation d = 8x +9y =30
Et voici ma résolution :

[Noemi]

@lala-o Bonjour,

Dans le calcul de $y$ au carré, tu as oublié de mettre le 9 au carré et tu as oublié le B dans la factorisation de $X^2$.

[Wilmat]

Bonjour,

@lala-o : ta seconde ligne est fausse

$\frac{144}{25}A+\frac{36}{25}B=1⟺144A+36B=25$

[Black-Jack]

Bonjour,

x²/a² + y²/b² = 1 (a et b > 0)
passe par C(-12/5 ; 6/5) ---> 144/(25a²) + 36/(25b²) = 1
144b² + 36a² = 25a²b²
b²=(36a²)/(25a²-144)

x²/a² + y²*(25a²-144)/(36a²) = 1
36x² + (25a²-144)y² = 36a² (1)

On a aussi (éq de la tangente) : y = (30-8x)/9

Remis dans (1) ---> 36x² + (25a²-144).((30-8x)/9)² = 36a²

x²(36 + 64.(25a²-144)/81) - x.[480.(25a²-144)/81] - 36a² + 900(25a²-144)/81 = 0

En posant a² = A (donc A = 0) , in a une équation du second degré en A dont le discriminant doit être nul (puisque un seul point commun entre la tangente et l'ellipse)

Rho = [480.(25A-144)/81]² - 4.(36 + 64.(25A-144)/81).( - 36A + 900(25A-144)/81) = 0 ...
On développe et on a la solutions positive A = 9

Et donc $a=\sqrt{9}=3$ ... et on calcule b avec : b²=(36a²)/(25a²-144)
On trouve b = 2

L'équation de l'ellipse est : x²/3² + y²/2² = 1

[mtschoon]

Bonjour,

@Black-Jack a dit dans Géométrie : équation d'une ellipse :

Bonjour,

x²/a² + y²/b² = 1 (a et b > 0)
passe par C(-12/5 ; 6/5) ---> 144/(25a²) + 36/(25b²) = 1
144b² + 36a² = 25a²b²
b²=(36a²)/(25a²-144)

x²/a² + y²*(25a²-144)/(36a²) = 1
36x² + (25a²-144)y² = 36a² (1)

On a aussi (éq de la tangente) : y = (30-8x)/9

Remis dans (1) ---> 36x² + (25a²-144).((30-8x)/9)² = 36a²

x²(36 + 64.(25a²-144)/81) - x.[480.(25a²-144)/81] - 36a² + 900(25a²-144)/81 = 0

En posant a² = A (donc A = 0) , in a une équation du second degré en A dont le discriminant doit être nul (puisque un seul point commun entre la tangente et l'ellipse)

Rho = [480.(25A-144)/81]² - 4.(36 + 64.(25A-144)/81).( - 36A + 900(25A-144)/81) = 0 ...
On développe et on a la solutions positive A = 9

Et donc $a=\sqrt{9}=3$ ... et on calcule b avec : b²=(36a²)/(25a²-144)
On trouve b = 2

L'équation de l'ellipse est : x²/3² + y²/2² = 1

On lit :
" En posant a² = A (donc A = 0 ) " ,
Petite distraction , je pense.
Il doit falloir lire : " En posant a² = A (donc A > 0)" ,

[Black-Jack]

@mtschoon a dit dans Géométrie : équation d'une ellipse :

Bonjour,

@Black-Jack a dit dans Géométrie : équation d'une ellipse :

Bonjour,

x²/a² + y²/b² = 1 (a et b > 0)
passe par C(-12/5 ; 6/5) ---> 144/(25a²) + 36/(25b²) = 1
144b² + 36a² = 25a²b²
b²=(36a²)/(25a²-144)

x²/a² + y²*(25a²-144)/(36a²) = 1
36x² + (25a²-144)y² = 36a² (1)

On a aussi (éq de la tangente) : y = (30-8x)/9

Remis dans (1) ---> 36x² + (25a²-144).((30-8x)/9)² = 36a²

x²(36 + 64.(25a²-144)/81) - x.[480.(25a²-144)/81] - 36a² + 900(25a²-144)/81 = 0

En posant a² = A (donc A = 0) , in a une équation du second degré en A dont le discriminant doit être nul (puisque un seul point commun entre la tangente et l'ellipse)

Rho = [480.(25A-144)/81]² - 4.(36 + 64.(25A-144)/81).( - 36A + 900(25A-144)/81) = 0 ...
On développe et on a la solutions positive A = 9

Et donc $a=\sqrt{9}=3$ ... et on calcule b avec : b²=(36a²)/(25a²-144)
On trouve b = 2

L'équation de l'ellipse est : x²/3² + y²/2² = 1

On lit :
" En posant a² = A (donc A = 0 ) " ,
Petite distraction , je pense.
Il doit falloir lire : " En posant a² = A (donc A > 0)" ,

Bonjour,

Oui, il fallait lire : A > 0