Géométrie / utilisation de la translation et de la rotation dans une conique

Bonjour à tous
Je voudrais obtenir de l'aide pour résoudre cette exercice
En utilisant les translations et les rotations. Trouver pour la conique suivante:
a. La longueur du grand axe
b. La longueur du petit axe
c. La distance focale
d. L'excentricité
e. Le latus rectum
f. Le centre
g. Les sommets
h. Les foyers
i. Les directrices
j. Les asymptotes
k. La polaire du foyer
l. Le cercle orthoptique
Équation de la conique : x²+y²+xy-7x-5y+9=0
Voilà, merci d'avance

Ce message a été supprimé !

@linjos , bonjour,

Pour l'utilisation de la translation et de la rotation dans une conique, je te conseille d'approfondir ce cours ( où tout est expliqué)
https://www.bibmath.net/formulaire/index.php?action=affiche&quoi=conique

Quelques pistes,
Si j'ai bien lu, tu cherches les caractéristiques le la conique d'équation : $x2+y2+xy−7x−5y+9=0\boxed{x^2+y^2+xy-7x-5y+9=0}$

Avec le déterminant, tu prouves que la conique est une ellipse (E)

Vu que les coefficients de $x^2$ et $y^2$ sont égaux, tu fais la rotation de centre $O$ et d'angle $π4\dfrac{\pi}{4}$
Après calculs, tu dois obtenir, sauf erreur,
$x=22x′+22y′x=\dfrac{\sqrt 2}{2}x'+\dfrac{\sqrt 2}{2}y'$
$y=−22x′+22y′y=\dfrac{-\sqrt 2}{2}x'+\dfrac{\sqrt 2}{2}y'$
En substituant dans l'équation de (E) tu obtiens l'équation de (E'), image de (E) par cette rotation :
$12x′2+32y′2−2x′−62y′+9=0\boxed{\dfrac{1}{2}x'^2+\dfrac{3}{2}y'^2 -\sqrt 2 x'- 6\sqrt 2 y'+9=0}$

Tu transformes avec les formes canoniques. et tu dois trouver :
$12(x′−2)2+32(y′−22)2=4\dfrac{1}{2}(x'-\sqrt 2)^2+\dfrac{3}{2}(y'-2\sqrt 2)^2=4$

Tu poses :
$x′′=x′−2x''=x'-\sqrt 2$
$y′′=y′−22y''=y'-2\sqrt 2$

Par translation de vecteur $U→(−2,−22)\overrightarrow{U}(-\sqrt 2, -2\sqrt 2)$ , tu obtiens l'équation de l'ellipse (E'') , image de de (E') par cette translation :
$12x′′2+32y′′2=4\boxed{\dfrac{1}{2} x''^2+\dfrac{3}{2} y''^2=4}$
Tu pourras encore transformer cette écriture pour l'obtenir sous la forme $x′′2a2+y′′2b2=1\dfrac{x''^2}{a^2}+\dfrac{y''^2}{b^2}=1$

Lorsque tu auras fait tout cela, tu pourras trouver les éléments caractéristiques demandés.

Il y a du travail dans cet exercice !

@linjos , illustration graphique

@mtschoon merci beaucoup !
Oui y a beaucoup à faire, j'espère que ça ira .

Oui, @linjos , tu as de quoi faire...

Si ça peut t'avancer un peu, je t'indique la formule usuelle de (E'')

$x′′2(22)2+y′′2(263)2=1\boxed{\dfrac{x''^2}{\biggr(\dfrac{\sqrt 2}{2}\biggr)^2}+\dfrac{y''^2}{\biggr(\dfrac{2\sqrt 6}{3}\biggr)^2}=1}$

Bon courage pour toutes les caractéristiques.

Remarque : dans les pistes , je n'ai pas changé de repère, j'ai gardé le repère et j'ai trouvé les images de (E) par rotation puis par translation pour trouver une ellipse (E'') isométrique à (E) et de position usuelle.
Tu peux aussi, si tu préfères, garder (E) et faire des changements d'axes par rotation et translation