équation trigonométrique symétrique

[-lala-o]

Bonjour, je n'arrive pas à résoudre cet exercice :
$si{n}^3(x)+co{s}^3(x)=\frac{9}{8}$

[mtschoon]

@lala-o , bonjour

Une idée à creuser éventuellement,
Soit $f(x)=co{s}^3(x)+si{n}^3(x)$
Soit $g(x)=\frac{9}{8}$

Je te joins la représentation graphique

la représentation graphique de $f$ est en vert
la représentation graphique de $g$ est la droite en noir

Visiblement, l'équation $f(x)=g(x)$ n' a pas de solution réelle.

Pour le prouver , tu peux étudier les variations de $f$ sur une période c'est à dire sur $[0,2\pi ]$ par exemple.
(c'est un peu long mais sans difficultés)
Tu dois trouver que le maximum de $f(x)$ est $1$

Vu que $\frac{9}{8}>1$ , l'équation proposée est impossible.

Remarque :
Vu que l'équation est symétrique ( entre sin(x) et cos(x) ) tu peux essayer de la résoudre avec le changement de variable $x=y+\frac{\pi }{4}$
C'est la méthode "classique", mais je n'ai pas essayé...,

[-lala-o]

@mtschoon Bonjour, pouvez vous m'aider pour la méthode du changement de variable? Je vous joint ma résolution pour vous montrer où je bloque.

[Black-Jack]

Bonjour,

f(x) = sin³(x) + cos³(x)
f '(x) = 3.sin²(x).cos(x) - 3cos²(x).sin(x)
f '(x) = 3.sin(x).cos(x).(sin(x)+cos(x))

Etude du signe de f '(x) et f'(x) = 0 ... et on trouve que les extrema de f sont pour x = k.Pi/2 et pour x = Pi/4 + k.Pi

Il suffit donc de calculer ces extrema pour x dans [0 ; 2Pi[ (il n'y en a pas beaucoup)

... et on en déduit que -1 <= f(x) <= 1

--> -1 <= sin³(x) + cos³(x) <= 1

Et donc sin³(x) + cos³(x) = 9/8 n'a pas de solutions.

[Black-Jack]

@lala-o a dit dans équation trigonométrique symétrique :

@mtschoon Bonjour, pouvez vous m'aider pour la méthode du changement de variable? Je vous joint ma résolution pour vous montrer où je bloque.

Bonjour,

Je n'ai pas vérifié si c'était correct ...

A supposer que oui.

Il suffit de continuer ainsi : Poser cos(y) = Y

On obtient une équation du 3ème degré en Y :
$-\sqrt{2}.Y^3+\frac{3\sqrt{2}}{2}.Y-\frac{9}{8}=0$

Equation facile à résoudre ... et qui donne comme solutions :
a) 2 solutions complexes conjuguées.
b) 1 solution réelle = -1,43...

Comme Y = cos(y), on doit forcément avoir -1 <= Y <= 1 ...
et donc aucune des solutions trouvées ne convient.

L'équation de départ n'a pas de solutions.

[mtschoon]

Bonjour,
@lala-o a dit dans équation trigonométrique symétrique :

@mtschoon Bonjour, pouvez vous m'aider pour la méthode du changement de variable? Je vous joint ma résolution pour vous montrer où je bloque.

@lala-o , je viens de vérifier tes calculs avec le changement de variable : ils sont corrects.
Bien sûr, tu es obligé(e) de continuer et d'arriver à une équation du 3ème degré sans solution évidente.
Je viens de faire les calculs et trouve la même équation que Black-Jack.
Tu peux éventuellement la transformer pour obtenir une équation de la forme usuelle $\boxed{Y^3+pY+q=0}$:
$Y^3-\frac{3}{2}Y+\frac{9\sqrt{2}}{16}=0$
Je te mets un lien pour la résolution, si besoin :
https://homeomath2.imingo.net/equa31.htm

Tu obtiendras la solution réelle en $Y$( lourde expression avec des racines cubiques) voisine de $-1.4355$, c'est à dire $cos(y)\approx -1.4355$
D'où impossibilité car tout cosinus est compris entre $-1$ et $1$

[mtschoon]

@lala-o , une remarque.

Tu postes en Terminale(autre) donc on ne peut pas savoir le programme que tu étudies.

Si la résolution des équations du 3ème degré en fait partie, tu peux, comme je te l'ai indiqué, faire le changement de variable $x=y+\frac{\pi }{4}$ qui utilise le fait que l'équation proposée est symétrique en $sin(x)$ et $cos(x)$.

Sinon, la première méthode que je t'ai proposé en étudiant la fonction $f$ définie par $f(x)=si{n}^3(x)+co{s}^3(x)$ me parait plus simple, mais n'utilise pas la "symétrie" de l'équation.

A toi de voir ce qui correspond le mieux à tes études.

Bon travail.

[-lala-o]

@mtschoon @Black-Jack Merci pour votre aide !

[mtschoon]

De rien @lala-o .
Bon travail !