Calcul de limites limite limite


  • M

    Bonsoir, aidez moi svp
    F(x)= ( x/(x-1) ) + ln( |x-1| )
    Comment calculer la lim de F(x) quand x——> 1

    J’y arrive passtrikethrough text


  • B

    Bonjour,

    Il faut distinguer la limite pour x→1−x \to 1^-x1 de la la limite pour x→1+x \to 1^+x1+

    1. limx→1−F(x)=−∞−∞=−∞lim_{x\to1^-} F(x) = -\infty - \infty = -\infty limx1F(x)==

    2. lim⁡x→1+F(x)=+∞−∞\lim_{x\to1^+} F(x) = +\infty - \infty limx1+F(x)=+ indétermination qu'il faut lever.

    x/(x-1) + ln|x+1| = (x + (x-1) ln|x-1|)/(x-1)

    lim⁡x→1+ F(x)=lim⁡x→1+ (1x−1)∗(lim⁡x→1+ (x)+limx→1+((x−1).ln∣x−1∣)\lim_{x\to1^+}\ F(x) = \lim_{x\to1^+}\ (\frac{1}{x-1}) * (\lim_{x\to 1^+}\ (x) + lim_{x\to 1^+} ((x-1).ln|x-1|) limx1+ F(x)=limx1+ (x11)(limx1+ (x)+limx1+((x1).lnx1)

    =lim⁡x→1+(1x−1)∗(1+lim⁡x→1+(x−1).ln∣x−1∣)=\lim_{x\to 1^+} (\frac{1}{x-1}) * (1 + \lim_{x\to 1^+} (x-1).ln|x-1|) =limx1+(x11)(1+limx1+(x1).lnx1) (1)

    Attaquons lim⁡x→1+((x−1).ln∣x−1∣)\lim_{x\to 1^+}( (x-1).ln|x-1|)limx1+((x1).lnx1)

    Posons u = x-1, on a alors :

    lim⁡x→1+((x−1).ln∣x−1)∣=limu→0+(u.ln(u))\lim_{x\to 1^+} ((x-1).ln|x-1)| = lim_{u\to 0^+} (u.ln(u) )limx1+((x1).lnx1)=limu0+(u.ln(u))

    =limu→0+ln(u)1u= lim_{u\to 0^+} \frac{ln(u)}{\frac{1}{u}}=limu0+u1ln(u) indétermination du type oo/oo qu'on peut par exemple lever par la règle de Lhospital.

    =limu→0+(1u−1u2)=limu→0+(−u)=0= lim_{u\to 0^+} (\frac{\frac{1}{u}}{-\frac{1}{u^2}}) = lim_{u\to 0^+} (-u) = 0=limu0+(u21u1)=limu0+(u)=0

    Ceci remis dans (1) donne :

    lim⁡x→1+F(x)=limx→1+(1x−1)=10+=+∞\lim_{x\to1^+} F(x) = lim_{x\to 1^+} (\frac{1}{x-1}) = \frac{1}{0+} = +\infty limx1+F(x)=limx1+(x11)=0+1=+


  • N
    Modérateurs

    @Zeïnab-Mahamadou Bonsoir,

    Autre piste.
    Utilise le changement de variable X=x−1X = x-1X=x1,
    Soit F(x)=X+1X+ln∣X∣F(x)= \dfrac{X+1}{X} +ln\mid X\midF(x)=XX+1+lnX
    puis
    F(x)=X+1+Xln∣X∣XF(x)=\dfrac{X+1+Xln\mid X\mid}{X}F(x)=XX+1+XlnX
    puis calcule la limite quand XXX tend vers 0+0^+0+ et 0−0^-0