Ordre d'un élément d'un groupe

Mathématiques première année de licence
Bonjour
Exercice :
Un élément x d'un groupe ( G,• ) , de neutre e , est dit d'ordre infini si et seulement si s'il existe n ∈ℕ* tel que x^n = e ; si x est d'ordre fini , le plus petit n ∈ ℕ* tel que x^n = e est appelé l'ordre de x.
soient (G,•), un groupe , ( a , b) ∈ G².
Montrer :
a) si a,b ,ab sont d'ordre 2 , alors ab = ba
b) si a est d'ordre fini , alors a⁻¹ aussi , et a et a⁻¹ ont le même ordre.
Svp besoin d'aide, merci pour toutes vos réponses d'aide.

@medou-coulibaly , bonjour,

Je te donne quelques indications pour le a)

Par hypothèse, $a^2=e$ , $b^2=e$ , $ab)^2=e$

Démarche logique :

$ab)^2=e$

en composant avec $a$ à gauche :
$a(ab)^2=ae$

puis en composant avec $b$ à droite :
$a(ab)^2b=aeb$

Vu que $e$ est l'élément neutre : $a(ab)^2b=ab$

en décomposant le membre de gauche :
$a (a b) (a b) b = a b$

grâce à l'associativité de la loi *, on peut déplacer les parenthèses :
$(a a) (b a) (b b) = a b$

c'est à dire: $a^2(ba)b^2=ab$

vu que $a^2=e$ et $b^2=e$ , on obtient $e (b a) e = a b$

Vu que $e$ est l'élément neutre , on obtient $ba=ab\boxed{ba=ab}$

CQFD

Revois tout ça de près, refais le seul et réfléchis au b)

Reposte si besoin.

@medou-coulibaly , pense à mettre un titre explicite à ton topic.
par exemple : "ordre d'un élément dans un groupe" ou quelque chose de ce genre.

@mtschoon ok d'accord madame

@mtschoon je réfléchis sur la b ) mais jusque-là je ne trouve pas d'issue

@medou-coulibaly ,

C'est bien d'avoir modifier le titre de ton topic.

Je te mets quelques pistes pour le b )

Soit $n$ l'ordre de a : $a^n=e$
Soit $p$ l'ordre de $a^{-1}$ : $a^{-1})^p=e$

Il faut prouver que $n = p$

1 )
En échangeant l'ordre des exposants :
$ap=((a−1)−1)pa^p=\biggr((a^{-1})^{-1}\biggr)^p$ = $((a−1)p)−1=e−1=e\biggr((a^{-1})^p\biggr)^{-1}=e^{-1}=e$

Tu as donc :
$a^n=e$ et $a^p=e$
Tu en déduis une une inégalité entre $n$ et $p$ , en utilisant la définition de l'ordre d'un élément.

2 )
En échangeant l'ordre des exposants :
$a^{-1})^n=(a^n)^{-1}=e^{-1}=e$

Tu as donc :
$a^{-1})^n=e$ et $a^{-1})^p=e$
Tu en déduis une une autre inégalité entre $n$ et $p$ , en utilisant la définition de l'ordre d'un élément.

3 ) Avec les deux inégalités trouvées, tu dois déduire la conclusion cherchée.

Reposte si besoin.

@mtschoon je suis de retour madame j'ai pris le temps de bien lire ce que vous avez fait, j'ai bien travaillé dessus, je vous remercie beaucoup

@medou-coulibaly , c'est très bien.

Je pense que tu as trouvé :

Pour la 1 ) : $n≤pn\le p$
Pour la 2 ) : $p≤np\le n$
d'où la conclusion $n = p$

@mtschoon oui oui c'est ce que je trouve

C'est parfait @medou-coulibaly .

@mtschoon merci Madame