problème de géométrie : prouver que 3 points sont alignés

bonsoir,
il y a un problème que j'ai trouvé un peu difficile, pouvez-vous m'aider à le résoudre ?

Soient C et D deux points distincts d’un demi-cercle de diamètre [AB]. Les droites (AC) et (BD)
se coupent en E, les droites (AD) et (BC) se coupent en F. On note I , J et K les milieux respectifs
des segments [AB], [CD] et [EF].

Fais une figure.
Montre que I , J et K sont alignés

voici la figure :

@nounou Bonjour,

Quels cours étudies tu actuellement ?

les théorèmes de pythagore et thalès, et la trigonométrie

@nounou

A partir des triangles rectangles $E D F$ et $E F C$ Montre que $C K = K D$

puis tu utilises le triangle $C I D$ et le triangle $K C D$ soit le quadrilatère $I C K D$ .

@Noemi je n'ai pas compris pourquoi les triangles EDF et EFC sont rectangles

@Noemi ah non c'est bon, c'est parce que les angles ACB et BDE sont plats et ACB et DBA sont des triangles rectangles

@nounou
Les triangles $A D B$ et $A B C$ sont rectangles car inscrits dans un demi cercle de diamètre $[A B]$ .
Les angles $B D E$ et $A C E$ sont des angles plats.

@Noemi mais CF et KD ne sont pas forcément égaux

@nounou
Si $C K = F E / 2 = K D$ . car $K$ milieu de $E F$ .

Tu peux vérifier en traçant le cercle de centre $K$ et de rayon $K D$ .

As tu vu le quadrilatère "Cerf-volant" et ses propriétés ?

alors ce n'est pas CF mais CK qui est égal à KD, non ?

@nounou

Oui, erreur de frappe.

Ok, donc on a KC=KD, mais à quoi ça va servir ?
on n'a pas vu les quadrilatère "cerf-volant"

@nounou
Le triangle $K C D$ est isocèle en $K$ , comme $J$ est le milieu de $C D$ , $K J$ est une médiane mais aussi une hauteur. Donc l'angle $C J K = 90 °$ .
Tu appliques le même raisonnement au triangle $C I D$ .
Tu montres ainsi que l'angle $C J I$ est aussi égal à 90°.
Puis tu conclus.