Dm produit scalaire et orthogonalité

[Bastien Saut]

Bonsoir,
Voilà mon DM de maths dont je n'ai rien compris à l'exercice 2.
On se place dans un repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖⃗ ; 𝑗⃗ ; 𝑘⃗) de l’espace et on considère les cinq points :
𝐴 (1 ; 1 ; 4) 𝐵 (4 ; 2 ; 5) 𝐶 (3 ; 0 ; −2) 𝐼 (1 ; 9 ; 0) 𝐽 (1 ; 4 ; 2)
On note :
𝒫 le plan passant par les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶
𝒟 la droite passant par le point 𝐽 et de vecteur directeur 𝑢⃗ (1;1;3)
𝒮 la sphère* de de centre 𝐼 et de rayon 6
*On rappelle que la sphère de centre Ω et de rayon 𝑟 > 0 désigne l’ensemble des points 𝑀 de l’espace
tels que Ω𝑀 = 𝑟

Questions :
1) Position relative de 𝒟 et 𝒫
a) Justifier que le vecteur 𝑛⃗ (1;−4;1) est normal au plan 𝒫
b) Déterminer une équation cartésienne du plan 𝒫
c) Calculer 𝑛⃗ . 𝑢⃗, puis en déduire la position relative de 𝒟 et 𝒫

2) Position relative de 𝒫 et 𝒮
a) Montrer que la droite Δ passant par 𝐼 et orthogonale au plan 𝒫 coupe ce plan au point 𝐻 (3 ; 1 ; 2)
b) Calculer la distance 𝐼𝐻 (on donnera la valeur exacte sous la forme la plus simple possible)
c) Justifier que pour tout point 𝑀 du plan 𝒫 on a 𝐼𝑀 ≥ 𝐼𝐻
d) Le plan 𝒫 coupe-t-il la sphère 𝒮 ? Justifier

3) Position relative de 𝒟 et 𝒮
a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite 𝒟
b) Déterminer les coordonnées du point 𝐾 projeté orthogonal de 𝐼 sur la droite 𝒟
c) Montrer que la droite 𝒟 coupe la sphère 𝒮 en deux points distincts (dont on ne cherchera pas à
déterminer les coordonnées)

Merci d'avance
Bonne soirée

[Noemi]

@Bastien-Saut Bonjour,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

Question 1) a) Détermine deux vecteurs du plan.
b) Détermine une équation cartésienne du plan 𝒫.

[Bastien Saut]

Bonsoir,
J’ai calculé les deux vecteur AB(3,1,1) et AC(2,-1,-6).
J’ai ensuite fait le produit scalaire ou AB est orthogonal mais AC ne l’est pas je trouve 4 est-ce normal ?
J’ai donc fait la b, est j’ai trouvé x-4y+z-1=0
Pour la c, j’ai calculé n.u qui est nul. Les deux vecteurs sont orthogonaux. Par contre j’ai remplacé les coordonnées de J dans mon équation cartésienne du plan et je trouve -14 donc je pense que J n’est pas dans le plan de P.
Dites moi si c’est ça
Par contre même avec les résultats je ne sais pas quoi répondre à la question c.
J’attends vos indications pour la question 2.
Bonne soirée

[Noemi]

@Bastien-Saut

Vérifie le calcul pour $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{n}$
Si les vecteurs sont orthogonaux, c'est que la droite est parallèle au plan ou contenue dans le plan.
Comme le point J n'appartient pas au plan. Tu conclus ....

[Bastien Saut]

C'est bon je viens de corriger mon erreur et j'ai mis que D et P sont parrallèles

[Bastien Saut]

@Noemi Auriez-vous des indications pour la question 2

[Noemi]

@Bastien-Saut

Détermine l'équation de la droite Δ, puis cherche le point d'intersection de la droite avec le plan.

[Bastien Saut]

Pour la 2)a j'ai fait le vecteur IH qui vaut (2;-8;2) c'est donc 2*n. Ils sont donc colinéaire donc le vecteur est normal au plan P et il est aussi orthogonal.
Pour la 2)b je trouve que IH = 6 racine de 2
Par contre pour la c et la d j'ai vraiment rien compris

[Noemi]

@Bastien-Saut

Pour la question 2 a) il faut déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite Δ avec le plan. Tu dois trouver le point H.

IH est juste.

c) Pour tout point M du plan $I{M}^2=I{H}^2+M{H}^2$ donc ....
d) Compare le rayon de la sphère avec IH.

[Bastien Saut]

Pour 2)a j'ai jamais compris comment faire j'ai trouve ce système mais je sais pas quoi faire après.
t+1
-4t+9
t

[Noemi]

@Bastien-Saut
L'équation paramétrique de la droite $\Delta$
$x=1+t$
$y=9-4t$
$z=t$

Pour déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite avec le plan,
tu résous le système :
$x=1+t$
$y=9-4t$
$z=t$
$x-4y+z-1=0$

Tu trouves $t=2$, tu en déduis les coordonnées du point H.

[Bastien Saut]

ah d'accord merci je fais ça et je vous dis

[Bastien Saut]

@Noemi C'est bon j'ai réussi pour la a.
Par contre pour la c) j'ai trouvé que comme IM^2 = IH^2 et MH^2 et que IH est orthogonal donc il y a un angle droit. Cela veut dire que IM est l’hypoténuse donc IM toujours plus grand que IH

[Noemi]

@Bastien-Saut

Avec la relation de Pythagore
$MH\ge 0$ quel que soit $M$, donc $IM\ge IH$

[Bastien Saut]

La réponse c’est :
Comme IM^2 = IH^2 et MH^2 et que IH est orthogonal nous savons qu’il y a un angle droit. Et avec la relation de pythagore on sait que MH≥0 quel que soit M, donc IM≥IH. Cela veut dire que IM est l’hypoténuse donc IM toujours plus grand que IH

C’est ça ?

[Noemi]

@Bastien-Saut

Pourquoi écris-tu : $I{M}^2=I{H}^2$

Le triangle $IMH$ est rectangle en $H$, donc pour tout point M du plan
$I{M}^2=I{H}^2+M{H}^2$
Comme $M{H}^2\ge 0$ alors $I{M}^2\ge I{H}^2$ donc $IM\ge IH$.

[Bastien Saut]

@Noemi
Oui c’est ce que je voulais écrire mais j’ai mis « et » jsp pourquoi.
Pour la 2)d pourriez-vous m’aiguillez ?

[Noemi]

@Bastien-Saut

question d) Compare le rayon de la sphère avec IH.

[Bastien Saut]

Les comparer ?
Comparer 6 avec 6 racine de 2 ?
Le rayon est plus petit que IH

[Noemi]

@Bastien-Saut

Donc tu conclus .....

[Bastien Saut]

Comment savoir si le plan coupe la sphère ?
Je ne vois pas comment on pourrai le savoir juste en disant que le rayon est plus petit que IH

Mais je dirai que comme le rayon est plus petit que IH le plan coupe la sphère S.

[Noemi]

@Bastien-Saut

Fait une figure, Place les points I et H distant d'environ 8,5 cm. Le point I au dessus du point H. Au point H tu traces une horizontale qui passe par H.
Trace en prenant I pour centre un cercle de rayon 6 cm.
Le cercle coupe t-il l'horizontale ?

[Bastien Saut]

Je viens de faire ça, et le cercle ne coupe pas l'horizontale donc le plan P ne coupe la sphère S car le rayon (6cm) est plus petit que IH (6 racine de 2).

[Noemi]

@Bastien-Saut

Oui.

[Bastien Saut]

@Noemi Désolé mais vous auriez des indications pour la question 3 ?

[Noemi]

@Bastien-Saut

Pour l'équation paramétrique fait le même raisonnement que pour la droite $\Delta$.

[Bastien Saut]

@Noemi ok je trouve
x= 1+t
y= 4+t
z= 2+3t

[Bastien Saut]

@Noemi Par contre comment on trouve les coordonnées d'un projeté orthogonal ?

[Noemi]

@Bastien-Saut

Le point K appartient à cette droite donc tu peux écrire les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{IK}$ puis tu calcules le produit scalaire :
$\overrightarrow{IK}.\overrightarrow{u}=0$.

[Bastien Saut]

@Noemi D'accord mais j'ai pas les coordonnées de K. Je ne peux donc pas faire IK.u

[Noemi]

@Bastien-Saut

Les coordonnées de $K$ correspondent aux coordonnées de la droite pour une valeur de $t$ que l'on cherche.
$\overrightarrow{IK}=(1+t-1;4+t-9;2+3t-0)$
soit $(t;t-5;3t+2)$
le produit scalaire avec le vecteur $\overrightarrow{u}$ donne
$t+t-5+9t+6=0$, soit $t=-\frac{1}{11}$

Que tu remplaces dans l'équation de la droite pour avoir les coordonnées du point K.

Tu calcules ensuite la distance $IK$ pour répondre à la dernière question.

[Bastien Saut]

Ok merci donc je trouve que K =
xk= 10/11
yk= 43/11
zk= 19/11
Soit K(10/11;43/11;19/11)

Pour la dernière question je cherche le vecteur IK soit (-1/11;-56/11;19/11)
Puis je cherche la longueur IK soit racine carrée de (-1/11)^2+(-56/11)^2+(19/11)^2 = 5,3767 (environ c'est un arrondi)
Par contre en quoi ça montre que la droite D coupe la sphère en deux points distincts ?

[Noemi]

@Bastien-Saut

Même raisonnement que pour la sphère,
Tu compares 5,37 et 6, Comme 6 > 5,37 donc deux points distincts

[Bastien Saut]

Ok merci beaucoup petite dernière question
Pour la 1)c j'ai trouvé que le vecteur était orthogonal au plan et que J n'appartenait pas au plan. Mais je ne sais pas quoi conclure.

[Noemi]

@Bastien-Saut

Le produit scalaire est nul. Le vecteur n est normal au plan.
Donc le plan est la droite sont parallèles ou la droite appartient au plan.
Vérifie si le point J appartient au plan.

Je décroche. Bonne nuit.

[Bastien Saut]

@Noemi Le point J n'appartient pas au plan.
Mais qu'en est t-il de la position relative de D et P ?

[Noemi]

@Bastien-Saut

La droite et le plan sont parallèles.

[Bastien Saut]

Ok merci
Bonne journée