Résolution d'un système à 3 inconnues par substitution

Bonjour tout le monde
$(X 1 - 2) ² + X 2 ² = 4$
$X 2 - 2 a (X 1 - 2) = 0$
$X 1 - 2 a X 2 = o$

$X 1 - 2 = 2 a X 2$
$X 2 - 2 a (X 1 - 2) = 0$
$X 2 - 2 a (2 a X 2) = 0$
$X 2 - 4 a ² X 2 = 0$

Après j'ai factoriser par X2
$- 4 a ² + 1 = 0$
C'est bon j peux continuer ma résolution ?

Edit : message modifié par l'admin du forum pour plus de lisibilité, merci

Bonjour Aïta-KANE,

Comment as-tu trouvé $X_1-2= 2aX_2$ ?
Car d'après la troisième équation, tu as $X_1=2aX_2$ .

@Noemi à partir de la deuxième équation
X2-2a(X1-2)=0
-2a(X1-2)=-X2
(X1-2) = X2/2a = 2aX2

@Aïta-KANE

$X22a\dfrac{X_2}{2a}$ n'est pas égal à $2aX_2$

A partir de la troisième équation, tu poses si $X_2$ différent de 0.
$2a=X1X22a=\dfrac{X_1}{X_2}$
que tu remplaces dans la deuxième équation.

@Noemi aah d'accord je vais essayer a nouveau

@Aïta-KANE
A partir de $2a=X1X22a=\dfrac{X_1}{X_2}$ ,
La deuxième équation devient :
$X2−X1X2(X1−2)=0X_2-\dfrac{X_1}{X_2}(X_1-2)=0$

Multiplie par $X_2$ . puis isole $X_2^2$ que tu remplaces dans la première équation.

@Noemi bonjour hier je me suis rappelé que j'avais un exo d'anglais à faire c'est pour ça que j'ai pas pu continuer l'exercice mais je l'a ferai aujourd'hui au moment de ma pause et après je vais le poster pour un correction

@Aïta-KANE voila je que jai eu loccasion de faire
A partir de la 3 équation
X1-2aX1=0
2a= X1/X2
À partir de la 2eme équation
X2-2a(X1-2)=0
X2 -X1/X2 (X1-2)=0
X2²/X2-X1/X2(X1-2)=0
Puis j'ai simplifier les dénominateur
X2²-X1(X-2)=0
X2²=X1(X1-2)
À partir de la première équation
(X1-2 )²+ X2²=4
(X1-2)²+X2²=4
X1²-2X1+4+X1²-2X1=4
2X1²-4X1=0
X1²-2X1=0
DELTA =4-4(1)(0)
=4
x1=0 et x2 =2
Après je savais pas ou remplacer alors j'ai arrèt et fais mon exercice d'anglais

@Aïta-KANE

Des erreurs dans la dernière partie .
$X_1-2)^2 = X_1^2-4X_1+4$
Si la première relation est : $X_1-2)^2+X_2^2= 4$
cela donne : $X_1^2-4X_1+4+X_1^2-2X_1= 4$
soit .....

@Noemi oh je suis vraiment désolé dans la première équation c'est effectivement
( X1-2)²+X2²=4

@Aïta-KANE

Si la relation est : $X_1-2)^2+X_2^2= 4$
cela donne : $X_1^2-4X_1+4+X_1^2-2X_1= 4$
soit $2X_1^2-6X_1=0$ d'ou $2X_1(X_1-3)=0$

je te laisse poursuivre les calculs.

@Noemi d'accord merciiiiii j'ai compris cette fois-ci

@Noemi s=(0,0,0) (3 ,√3, √3/2) (3, -√3,- √3/2)

@Aïta-KANE

C'est juste, précise que tu écris les solutions sous la forme :
$X_1, X_2, a)$

@Noemi d'accord merciiii

Bonsoir,

Je me permets de revenir sur cet exercice. Il est "piégeux"...

Première chose :
Je n'ai pas suivi tous les méandres des calculs indiqués mais j'ai vu qu'il y avait une division par $X_2$ d'où condition imposée $X2≠0\boxed{X_2\ne 0}$
La conclusion $X2=0\boxed{X_2=0}$ qui fait partie du triplet (0,0,0) ne peut pas convenir à cette démonstration.
Il y a une contradiction .
Il faudrait faire des calculs sans division par $X_2$ , pour légitimer le triplet solution (0,0,0) (qui est bien exact) ou bien distinguer deux cas.

Seconde chose :
Les triplets (3 ,√3, √3/2) (3, -√3,- √3/2) ne sont pas solutions du système , en utilisant l'équation de départ indiquée préalablement $X_1-2)^2-(X_2)^2=4$

REMARQUE :
Apparemment, cette équation de départ n'était pas la bonne ! ! !

Elle vient d'être modifiée par Noemi .
Il s'agit maintenant de $X_1-2)^2+(X_2)^2=4$
Dans ce cas , les triplets indiqués sont bien solutions du nouveau système écrit et ma "seconde chose" n'est plus nécessaire...

@mtschoon les solutions sont sous la forme :
(X1,X2,a)
Si c'est pas ça je comprends plus rien

@mtschoon la dernière phase de l'équation que j'ai trouvé c'est
2X1(X1-3)=0
2X1=0 ou X1-3=0
X1=0 OU X1=3
Si X1 =0
2a=X1/X2
2a=0/X2
a=0
X2²=X1(X1-2)
X2²=0(0-2)
X2=0
Premier triplet(0,0,0)

Bonsoir Aïta-KANE ,

La solution que tu as proposée est juste.
Ne tiens pas compte de la deuxième partie du message de mtschoon car elle n'a pas étudié tous les messages et n'a pas vu la modification de l'énoncé que tu as indiqué.

Pour la première partie, le cas $X_2= 0$ est à étudier à part car j'ai indiqué dans mon second message que l'équation ne pouvait s'écrire que si $X_2$ était différent de 0.
Si $X_2=0$
La solution est directe, en partant de la dernière équation, on trouve $X_1=0$ puis à partir de la deuxième équation $a = 0$ . Les valeurs de $X_1$ et $X_2$ trouvées vérifient la première équation.

@mtschoon si X1=3
2a =3/X2
X2²=X1(X1-2)
= 3(3-2)
X2²=3
X2= √3 ou X2=- √3
2a =3/ √3
a = 3/2√3
Puis j'ai simplifié par l'expression conjugué
(3/2 √3) ×( √3/ √3)=3 √3/6 = √3 /2
a = √3/2
J'ai fais le mn procédé pour si X2= - √3
Et j'ai trouvé a =- √3/2
D'où s=(0,0,0)(3, √3, √3/2)(3,- √3,- √3/2)

@Noemi ouf j'ai eu peur merciii !🤩

@Aïta-KANE

N'oublie pas de traiter le cas $X_2=0$ .

Bonsoir,

Oui, conformément à ma première remarque, il faut faire deux cas disjoints : premier cas $X_2=0$ ce qui donne $X_1=0$ et $a = 0$ d'où triplet solution (0,0,0)

Et ensuite, on peut faire le second cas $X2≠0X_2\ne 0$ où l'on peut diviser par $X_2$ (dans ce cas , la solution $X_2=0$ est à exclure de ce second cas )

Cela évite ainsi toute contradiction.

(On peut, bien sûr, utiliser d'autres méthodes )

En ce qui concerne l'énoncé , l'énoncé de départ donnait pour première équation
( X1-2)²-X2²=4
C'est de celui-ci dont je parlais dans ma seconde remarque.

Vu que l'énoncé a changé entre temps, ce serait bien que la "modération" ou @Aïta-KANE modifie l'énoncé écrit au départ, pour éviter toute ambiguïté sur la suite de l'exercice.

Bonne soirée !

Bonjour,

Merci Noemi d'avoir indiqué maintenant un énoncé exact.
Ceux qui viennent consulter l'exercice ne seront pas "perturbés".